Ch 1 Vector

UTG

CPE 332

Computer Engineering

Mathematics II

Chapter 1 Vector

Web Site

http://cpe.rsu.ac.th/ut

– Download Material, Course Notes

– Download Slides

– Download HW Solutions

– Grading

– Announcements

– Resources

Today Topics

• Period 1

– Course Outlines

– Course Web Site

– Part I Chapter 1 Vector (Review)

– Breaks

– Part I Chapter 1 Vector (Review)

• Assignment:

– ยังไม่มีการบ ้าน

Download MATLAB Tutorial 1-5 และลองทํา Exercise ดู

• Next Week ต่อ Vector และ Chapter 2 เรื่อง Matrix

CPE 332 T1-57 Wk1

Definition of Vector

Definition of Vector

Notes

• เนื่องจาก Vector มีทั้งขนาดและทิศทาง เรา

สามารถเขียน Vector เป็นสองส่วน

– ส่วนขนาดแทนที่ด ้วย Scalar

– ส่วนทิศทาง จะแทนที่ด ้วย Unit Vector ที่มีทิศทาง

เดียวกับ Vector เดิม

ˆ

ˆ

F = F = F f = F f = F i + F j + F k = F (cosαi + cos βj + cos k γ )

1

2

3

• การกําหนดทิศทาง อาจจะกําหนดเป็น Component ในแกน

Coordinate (x,y,z); อาจจะกําหนดเป็นมุมที่กระทํากับแกน

Coordinate

• อาจจะกําหนดเป็น Ratio ที่กระทํากับแกนก็ได ้

• จะกล่าวต่อไปภายหลัง

– เราจะเน ้นที่สองอันแรก คือกําหนดเป็น Component i,j,k ในแกน

x,y,z

– หรือกําหนดในรูป Cosine ของมุม

– ทั้งสองอันนี้จะเกี่ยวข ้องกับ Unit Vector

Vector Operations

• เนื่องจาก Vector ประกอบด ้วยทั้งขนาดและ

ทิศทาง

– พีชคณิต เช่น บวก ลบ คูณ หาร จะไม่เหมือนกับ Scalar เนื่องจากต ้องนําทิศทางมาประกอบการคํานวณด ้วย

– การ บวก-ลบ ของ Vector จะได ้ Vector ใหม่ที่ขนาด

และทิศทางต่างจากเดิม

– การคูณ เราจะไม่ใช ้คําว่า ‘Multiplication’ แต่จะใช ้คําว่า

‘Product’ แบ่งเป็นสองประเภท

• Scalar Product (Dot Product; ●) จะได ้ Scalar

• Vector Product (Cross Product; X) จะได ้ Vector ที่ตั้งฉาก

กับ Vector เดิมทั้งสอง

Addition and Substraction

การประยุกต์ใช ้ใน Plane

Geometry

Component Vector

Component Vector in

Cartesian Coordinate

Component Vector in

Cartesian Coordinate

Component Vector in

Cartesian Coordinate

Position Vector

• จุดใน Space สามารถแสดงได ้โดยใช ้ Vector

เริ่มจาก Origin

– อาจเรียก Location Vector หรือ Radius Vector

– จุด P แสดงได ้โดยใช ้ Vector OP

– และสามารถแสดงได ้โดยใช ้ Component Vector

Position Vector และ

Addition-Subtraction using

Component Vector

สรุป

• การเขียน Vector ในลักษณะ Component

จะสามารถบวกและลบกันได ้ง่าย โดยการ

บวกลบแต่ละ Component บนแกนเดียวกัน

– Vector Product สามารถคํานวณได ้เช่นกัน

• จุดใน Space สามารถแทนด ้วย Vector เริ่ม

จากจุด Origin เรียก Position Vector

– Vector ที่เกิดจากสองจุดใน Space สามารถ

คํานวณได ้จาก Position Vector นี้

r

Any vectors in Cartesian

Coordinates

• Given 2 Points, P(x1,y1,z1) and

Q(x2,y2,z2)

– We have OP+PQ=OQ

– Then PQ = OQ – OP

• PQ = x2i+y2j+z2k – x1i+y1j+z1k

• PQ =(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

Z

Q(x2,y2,z2)

O

Y

P(x1,y1,z1)

X

Any vectors in Cartesian

Coordinates

• Given 2 Points, P(x1,y1,z1) and

Q(x2,y2,z2)

– PQ =(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

– Also magnitude or length of vector is the

distance between those 2 points (Euclidian

Distance)

• PQ = √(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Z

Q(x2,y2,z2)

O

Y

P(x1,y1,z1)

X

Direction Cosine/Ratio

• Vector สามารถเขียนเป็นสองส่วนประกอบ

=

A

A aˆ

– ขนาด สามารถหาได ้ง่าย กรณี Position Vector

– ทิศทาง คือ Unit Vector ที่มีทิศทางเดียวกันกับ

Vector นั้น

• ทิศทาง สามารถแตกเป็น Component Vector บนแต่ละ

แกนได ้ด ้วย

• ทิศทางสามารถกําหนดด ้วยมุมที่ทํากับแต่ละแกนได ้ด ้วย

• ทั้งสองแบบนี้ สัมพันธ์กันทางตรีโกณมิติ โดยการกําหนด

ด ้วยค่า Cosine ของมุม เรียก Direction Cosine

Direction Cosine

• Position vector OP

– Magnitude equal to OP = √x2+y2+z2

– Direction: cosαi+cosβj+cosγk

Called Direction Cosine

We have

F3

cosα =F1/OP

cosβ =F2/OP

F2

cosγ =F3/OP

F1

Direction Cosine and

Direction Ratio

Direction Cosine and

Direction Ratio

Example

• Given points P1(2,-4,5) and P2(1,3,-2),

find the vector P1P2 and its magnitude

and direction

– OP1 = 2i-4j+5k and OP2 = i+3j-2k

– P1P2=OP2-OP1=-i+7j-7k

– P1P2 = √1+49+49=√99

– Cos α = -1/√99 then α = 95.8 degree

– Cos β = 7/√99 then β = 45.3 degree

– Cos γ = -7/√99 then γ = 134.7 degree

Direction Cosine and

Direction Ratio

Next Week

• Vector Product

– Scalar Product(Dot)

– Vector Product(Cross)

• Chapter II: MATRICES

• HW II

CPE 332

Computer Engineering

Mathematics II

Week 2

Chapter 1 Vector (cont.)

Chapter 2 Matrix

Today Topics

• Chapter 1 Cont.

• Break

• Chapter 2: Matrix

• Download Homework 1: Chapter 1

– Due Next Week

Component Vector

Component Vector in

Cartesian Coordinate

Component Vector in

Cartesian Coordinate

Position Vector

• จุดใน Space สามารถแสดงได ้โดยใช ้ Vector

เริ่มจาก Origin

– อาจเรียก Location Vector หรือ Radius Vector

– จุด P แสดงได ้โดยใช ้ Vector OP

– และสามารถแสดงได ้โดยใช ้ Component Vector

Position Vector และ

Addition-Subtraction using

Component Vector

Any vectors in Cartesian

Coordinates

• Given 2 Points, P(x1,y1,z1) and

Q(x2,y2,z2)

– PQ =(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

– Also magnitude or length of vector is the

distance between those 2 points (Euclidian

Distance)

• PQ = √(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Z

Q(x2,y2,z2)

O

Y

P(x1,y1,z1)

X

Direction Cosine/Ratio

• Vector สามารถเขียนเป็นสองส่วนประกอบ

=

A

A aˆ

– ขนาด สามารถหาได ้ง่าย กรณี Position Vector

– ทิศทาง คือ Unit Vector ที่มีทิศทางเดียวกันกับ

Vector นั้น

• ทิศทาง สามารถแตกเป็น Component Vector บนแต่ละ

แกนได ้ด ้วย

• ทิศทางสามารถกําหนดด ้วยมุมที่ทํากับแต่ละแกนได ้ด ้วย

• ทั้งสองแบบนี้ สัมพันธ์กันทางตรีโกณมิติ โดยการกําหนด

ด ้วยค่า Cosine ของมุม เรียก Direction Cosine

Direction Cosine

• Position vector OP

– Magnitude equal to OP = √x2+y2+z2

– Direction: cosαi+cosβj+cosγk

Called Direction Cosine

We have

F3

cosα =F1/OP

cosβ =F2/OP

F2

cosγ =F3/OP

F1

Products of Vectors

• Vector Product

– Scalar Product(DOT)

– Vector Product(Cross)

Scalar Product(DOT)

Scalar Product (DOT)

Scalar(Dot) Product

A

θ

n

A●n=Acosθ

Scalar(Dot) Product

A●(B+C)=A●B+A●C

– Let A = a1i+a2j+a3k, B = b1i+b2j+b3k

• We have A●B = a1b1+a2b2+a3b3

– Also

– Given S=ai+bj, the equation of line perpendicular to this vector is in the form

ax+by=c

Line ax+by=c

S=ai+bj

DOT Product

Example

• Find the angle between the vector

A=i-j-k and B = 2i+j+2k

• We calculate A●B = 1.2-1.1-1.2=-1

• Also A = √(1+1+1)=√3

• Also B = √(4+1+4)=3

• Then Cos θ = -1/3√3

– θ = 101.1 degrees

Vector Product (Cross)

Cross Product

3 Vector Products

Examples

• Let A=2i+3j-k, B=i+j+2k

– A●B = 2+3-2 = 3

– A×B = (6+1)i-(4+1)j+(2-3)k=7i-5j-k

– A×B is orthogonal to both A and B

• Test : A●(A×B) = (2i+3j-k)●(7i-5j-k) = 14-15+1=0

• Test : B●(A×B) = (i+j+2k)●(7i-5j-k) = 7-5-2=0

Plane Equation in 3D

• ใน 2D สมการเส ้นตรงจะมี general Form

– Ax+By=C

• ใน 3D สมการของ Plane จะมี General

Form

– Ax+By+Cz=D

– D เป็นค่าคงที่ ทุกๆสมการในรูปเดียวกัน แต่ค่า

D ต่างกัน จะเป็นระนาบที่ขนานกัน

• 3x-2y+5z = 3 จะขนานกับ 3x-2y+5z = 6

Example 1

• กําหนดสมการของ Plane 2x+3y+2z=5 จง

หา unit vector ที่ตั้งฉากกับ Plane นี้

– กําหนด 3 จุด คือ A, B, C ดังนี้

– A: x=0,y=0,ดังนั้น z=5/2  A(0,0,2.5)

– B: x=1,y=0, ดังนั้น z=(5-2)/2  B(1,0,1.5)

– C: x=0,y=1, ดังนั้น z=(5-3)/2  C(0,1,1)

– Vector AB x AC จะได ้ Vector ที่ตั้งฉากกับ

Plane

AB = i k,

AC = j − 1. k

5

i

j

k

AB × AC = 1

0

−1 = i +1.5j + k

0

1

−1.5

1

uˆ =

[i +1 5. j+ k]

.

4 25

• สังเกตุว่าทุกๆ Vector ที่เป็น multiple ของ

2i+3j+2k จะตั้งฉากกับ Plane 2x+3y+2z=k

เสมอ โดยที่ k เป็นค่าคงที่ใดๆ

Example 2

• จงหาสมการของ Plane ที่ตั้งฉากกับ Vector

3i-2j-k และกําหนดให ้จุด (1,1,2) อยู่บน

Plane นั้น

– จากตัวอย่างก่อน เราได ้สมการของ Plane เป็น

3x-2y-z= k

– เราหาค่า k โดยแทนค่าจุด (1,1,2) ลงใน

สมการดังนี้ 3(1)-2(1)-(2)=-1=k

– ดังนั้นสมการที่ต ้องการจะเป็น 3x-2y-z+1=0

Definition of Matrix

Row Matrix, Column Matrix

Basic Operations

Matrix Multiplication

Square Matrix

Matrix Transpose

Types of Matrix

Types of Matrix

Types of Matrix

Types of Matrix

Types of Matrix

Matrix Inverse

Orthogonal/Unitary Matrix

Orthogonal Vector

Orthogonal Vector

Examples

1

3

5

A = 3

2

6

a

is

s

quare ma

trix of

orde

3

r ×

3, A

al

is

so a

s

ymmetric ma

trix

5

6

4

 0

− 3

5 

B =

3

0

− 6

a

is

s

quare ma

trix of

orde

3

r ×

3, B

al

is

so a

sk

ew - symmetric ma

trix

− 5 6

0 

1

0

0

C = 0

2

0

a

is

di

agonal ma

trix, Di

ag( )

C = {1,

3

2,

t

}, race( )

C = 1 + 2 + 3 = 6

0 0 3

C

al

is

so a

s

ymmetric ma

trix.

Examples

2 3 3

D = 0

−1 4

an

is

uppe

di

r agonal ma

trix

0 0 1

2 0 0

E = 1

0

0

a

is

l

ower di

agonal ma

trix

3 0 1

1 0 0

1 0

I =

,

I =

2

3

0 1 0

0 1

0 0 1

Examples

F

a

or

ma

ny

trix A

ha

we

ve AAT

a

is

s

ymmetric ma

trix

, ATA

al

is

so a

s

ymmetric ma

trix.

T

T

T

T T

T T

T

T

proof : From (

AB) = B A

ha

we

ve (

AA ) = (A ) A = AA

0 0 0

F = 0

0

0

a

is

zer

o ma

trix of

orde

3

r × 3

0 0 0

0

G = [

 

0

0

0] a

is

zer

o row

vect

an

or

d H = 0

a

is

zer

o c

olumn ve t

c or

 

0

 

Examples

 3 

 

K = 3i − 2j + 4k can w

be

ritten i

ma

n

trix

as

form

- 2

 4 

 

 2 

 

L = 2i + j k can w

be

ritten i

ma

n

trix

as

form

1 

- 

 

1

 2 

T

 

K L = K L = [3 − 2 4] 1 = 3 ⋅ 2 + ( 2

− ) ⋅1+ (

4 − )

1 = 0

 

−1

 

in this

v

case

ector K an

v

d ector L ar

e ort

hogona (pe

l

rpendi ul

c ar.)

Examples

1 0 − 

1

 1

1

1 

 2

4

4

1

1

3 

M = 2

1

1 ,

N =

−

,

2

4

4 

0 1 − 

1

− 1 1

1 

 2 4

4 

1 0 − 

1  1

1

1 

1 0 0

  2

4

4

1

1

3 

ha

we

ve MN = 2

1

1

=

 

0

1

0

2

4

4 

0 1 − 

1 − 1

1

1 

0 0 1

  2 4

4 

can

We

say

that M =

1

-

N an

d N =

1

-

M si

n

ce MN = .

I

If ma

trix di

is

agonal t

, he i

nverse

is

just the ma

trix w h

it

reciprocal of

di

agonal el

ements an

d

al

is

so di

agonal.

1 0 0

1 0 0

−1

1

F

ex

or ampl

e, O = 0

2

0 then O

=

0

0

2

0 0 3

1

0

0

3 

Examples

 cosθ

sinθ 

P = 

− sinθ cosθ

an

is

ort

hogonal ma

trix si

nce

cosθ − sinθ 

P 1

-

= PT = 

sinθ

cosθ

can

we

,

t

see hat

 cosθ

sinθ cosθ

− sinθ 

PPT = 



− sinθ cosθ sinθ

cosθ 

cos2 θ + sin2 θ

− cosθ sinθ + sinθ cosθ 

= 

− sinθ cosθ + cosθ sinθ

c cos2 θ + sin2 θ

1

0

=

a

for

a

ny ngleθ

0 1

Determinant

Determinant of Matrix

• Given square matrix, determinant of a

matrix A written |A| is defined by recursive equation as

n

i+

det(A) = A = ∑(− j

)

1

a Minor( a )

i, j

i, j

j =1

n

=

j +

(−

l

)

1

a

Minor( a )

j , l

j , l

j =1

– Starting from [a1x1] = a, and det(a)=a

Sign Matrix

• Given matrix A of order nxn

– Sign matrix of A is the matrix in the form

B=[bij]=[(-1)(i+j)]

a a a n

n

11

12

1 

 (− )

1 2

(− )

1 3

(−

+

)

1

1 

3

4

n + 2 

a

a

a n

21

22

2 

 (− )

1

(− )

1

(− )

1

A =  

 s

, ign A =

 

 

a

a

a

n +1

n + 2

2 n

n

n

nn

1

2

(− )

1

(− )

1

(− )

1

 1

−1 1 

−1 1

−1 

=  1 −1 1 

 

 

 

1 

Minor aij

• Is the determinant of matrix A after taken out row ith and jth column.

a

a

a

a

a

 1

2

− 3

4

5 

11

12

13

14

15

 

a

a

a

a

a

− 2

3

4

− 5

6

21

22

23

24

25

 

A =  a

a

a

a

a  =  3

− 4

5

6

− 7

31

32

33

34

35

 

a

a

a

a

a

4

5

− 6

7

8

 41

42

43

44

45 

a

a

a

a

a

 − 5

6

7

8

− 9

51

52

53

54

55

a

a

a

a

1

2

4

5

11

12

14

15

a

a

a

a

3

− 4 6 − 7

Minor( a )

31

32

34

35

=

=

23

a

a

a

a

4

5

7

8

41

42

44

45

a

a

a

a

− 5

6

8

− 9

51

52

54

55

Cofactor aij

• Cofactor aij is the minor aij with the sign according to sign pattern

• Matrix of cofactor of A is the matrix B

which each element bij is the cofactor

aij

 5 6

4

6

4

5 

1 2 3

 8 9

7

9

7

8 

 2 3

1

3

1

2 

.

Ex A = 4

5

6 , Co(A) =

−

7 8 9

 8 9

7

9

7

8 

 2 3

1

3

1

2 

 5 6

4

6

4

5 

Determinant of 2x2 and 3x3

Calculation of Determinant using Recursive Expansion

n

det(A) = A = ∑

i+

(−

j

)

1

a Minor( a )

i, j

i, j

j =1

n

=

j +

(−

l

)

1

a

Minor( a )

j , l

j , l

j =1

a

b

a = a,

= ad bc

c

d

a

b

c

e

f

d

f

d

e

d

e

f = a

b

+ c

j

k

i

k

i

j

i

j

k

= a( ek jf ) − b( dk if ) + c( dj ie)

= aek-afi bdk + bfi + cdj cei, first row expand d

f

a

c

a

c

= b

+ e

j

i

k

i

k

d

f

= b

− ( dk if ) + e( ak ic) − j( af dc)

= bdk

+ bfi + aek cei afj + cdj, second column expand

Calculation of Determinant using Recursive Expansion

n

det(A) = A = ∑

i+

(−

j

)

1

a Minor( a )

i, j

i, j

j =1

Complexity = O(n!)

n

=

j +

(−

l

)

1

a

Minor( a )

j , l

j , l

j =1

a

a

a

a

11

12

13

14

a

a

a

a

21

22

23

24

a

a

a

a

31

32

33

34

a

a

a

a

41

42

43

44

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

22

23

24

21

23

24

21

22

24

21

22

23

= a a

a

a

a a

a

a

+ a a

a

a

a a

a

a

11

32

33

34

12

31

33

34

13

31

32

34

14

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

42

43

44

41

43

44

41

42

44

41

42

43

ความหมายของ Determinant

• เป็นค่า Scalar ที่สําคัญที่สุดที่บ่งบอก

คุณสมบัติของ Square Matrix

คุณสมบัติของ Determinant

คุณสมบัติของ Determinant

Calculation of Determinant

(Algorithm)

n

det(A) = A = ∑

i+

(−

j

)

1

a Minor( a )

i, j

i, j

Complexity = O(n!)

j =1

n

=

j +

(−

l

)

1

a

Minor( a )

j , l

j , l

j =1

a

a

a

a

11

12

13

14

ถ ้าเราบวกลบ Column เพ่ือให ้ Element ในแถว(หรือคอลัมน์) a

a

a

a

21

22

23

24

ที่ต ้องการขยายเป็นศูนย์หมดยกเว ้น Element เดียว

a

a

a

a

เราจะลงเอยด ้วยการคํานวณหา Determinant ของ Matrix 31

32

33

34

ที่มีขนาดลดลงหนึ่ง

a

a

a

a

41

42

43

44

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

22

23

24

21

23

24

21

22

24

21

22

23

= a a

a

a

a a

a

a

+ a a

a

a

a a

a

a

11

32

33

34

12

31

33

34

13

31

32

34

14

31

32

33

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

42

43

44

41

43

44

41

42

44

41

42

43

การบวกลบดังกล่าวต ้องมีหลักการ มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต ้อง

เราจะใช ้คุณสมบัติข ้อ 9 และ 10 ของ Determinant เพื่อกระทําดังกล่าว

Algorithm การหา Determinant ที่

มีประสิทธิภาพ

• ใช ้คุณสมบัติข ้อ 10 ร่วมกับข ้อ 9 เพื่อสร ้างเป็น Algorithm

– 1. มองหา Element ใน Matrix ที่มีค่าเท่ากับ 1 ถ ้าหาไม่ได ้ เลือก

Element ใดก็ได ้ จากนั้นหารทั้งแถว หรือหารทั้ง Column ด ้วยค่า

ของ Element นั้นเพื่อทําให ้ค่าเป็น 1 ตัวเลขที่มาหารนั้นจะต ้อง

กลับนํามาคูณกับคําตอบที่ได ้ เป็นค่า Determinant ที่ต ้องการ

(คุณสมบัติข ้อ 9)

– 2. พิจารณาว่าจะ Expand แบบแถวหรือ Column ผ่าน Element ที่

เลือก จากนั้นกําจัด Element อื่นในแนวที่ Expand เป็นศูนย์ให ้

หมด(คุณสมบัติข ้อ 10) สมมุติเราเลือก Element a(x,y)

• ถ ้าจะ Expand แบบแถว ให ้บวกลบ Column อื่นกับ Column ที่

ผ่าน Element ที่เลือก เพื่อให ้ Element ในแถวที่จะ Expand เป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว ้น Element ที่เลือก

– Col(j) ใหม่ = Col(j) เก่า – a(x,j)*Col(y); j = 1,2,..,n ยกเว ้น y

• ถ ้าจะ Expand แบบ Column ให ้บวกลบแถวอื่นกับแถวที่ผ่าน

Element ที่เลือก เพื่อให ้ Element ใน Column ที่จะ Expand เป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว ้น Element ที่เลือก

– Row(i) ใหม่ = Row(i) เก่า – a(i,y)*Row(x); i = 1,2,..,n ยกเว ้น x

Algorithm การหา Determinant ที่

มีประสิทธิภาพ(ต่อ)

– 3.ทําการ Expand ตามสูตร เราจะลงเอยด ้วย

การหา Determinant ของ Matrix ที่มีขนาด

ลดลงหนึ่งเพียงครั้งเดียว

– 4. วิธีนี้สามารถทําเป็น Recursive เพื่อลดการ

หา Determinant ของ Matrix ขนาดใหญ่

เหลือแค่การหา Determinant ของ Matrix 2x2

หรือ 3x3

การหา Determinant

การหา Determinant

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Inverse of Matrix

Matrix Inverse

• การคํานวณตามสมการที่กล่าวมา จะใช ้การ

คํานวณมากเกินไป

• หลัง Midterm เราจะมาดู Algorithm ที่มี

ประสิทธิภาพ เพื่อใช ้ในการหา Matrix

Inverse

– Gauss-Jordan Method

Matrix Norms

Norms

เรียก Spectral Radius ของ X

Homework 1:Vector

• Download HW 1 Question Sheet จาก

Website

– พิมพ์ Question Sheet ลงบนกระดาษ A4

– ทําการบ ้าน โดยแสดงวิธีทําและคําตอบในช่อง

ที่กําหนด ด ้วยลายมือนักศึกษา ห ้ามพิมพ์ ต ้อง

ใช ้กระดาษที่พิมพ์นี้ทําการบ ้าน

– เขียนชื่อที่หัวกระดาษ ส่งอาทิตย์หน ้าต ้นชั่วโมง

– ไม่รับงานที่ไม่เป็นไปตามที่กําหนด

Document Outline

Table of contents

previous page start